Возведение матрицы в степень. Вычисление результатов выражений с матрицами. Возведение матрицы в степень онлайн Возведение матрицы в большую степень
Здесь мы продолжим начатую в первой части тему операций над матрицами и разберём пару примеров, в которых потребуется применять несколько операций сразу.
Возведение матрицы в степень.Пусть k - целое неотрицательное число. Для любой квадратной матрицы $A_{n\times n}$ имеем: $$ A^k=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{k \; раз} $$
При этом полагаем, что $A^0=E$, где $E$ - единичная матрица соответствующего порядка.
Пример №4
Задана матрица $ A=\left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)$. Найти матрицы $A^2$ и $A^6$.
Согласно определению $A^2=A\cdot A$, т.е. для нахождения $A^2$ нам просто нужно умножить матрицу $A$ саму на себя. Операция умножения матриц рассматривалась в первой части темы , поэтому тут просто запишем процесс решения без подробных пояснений:
$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2+2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right). $$
Чтобы найти матрицу $A^6$ у нас есть два варианта. Вариант первый: банально продолжить домножать $A^2$ на матрицу $A$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$
Однако можно пойти несколько более простым путём, используя свойство ассоциативности умножения матриц. Расставим скобки в выражении для $A^6$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2\cdot A^2. $$
Если при решении первым способом потребовалось бы четыре операции умножения, то для второго способа - лишь две. Поэтому пойдём вторым путём:
$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {cc} -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4)+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -7 & -24 \\ 12 & 41 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {cc} -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12\cdot (-4)+41\cdot 7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -41 & -140 \\ 70 & 239 \end{array} \right). $$
Ответ : $A^2=\left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)$, $A^6=\left(\begin{array} {cc} -41 & -140 \\ 70 & 239 \end{array} \right)$.
Пример №5
Заданы матрицы $ A=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end{array} \right)$, $ B=\left(\begin{array} {ccc} -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end{array} \right)$, $ C=\left(\begin{array} {ccc} -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end{array} \right)$. Найти матрицу $D=2AB-3C^T+7E$.
Вычисление матрицы $D$ начнем с нахождения результата произведения $AB$. Матрицы $A$ и $B$ можно перемножать, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. Обозначим $F=AB$. При этом матрица $F$ будет иметь три столбца и три строки, т.е. будет квадратной (если этот вывод кажется неочевидным, посмотрите описание умножения матриц в первой части этой темы). Найдем матрицу $F$, вычислив все её элементы:
$$ F=A\cdot B=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {ccc} -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end{array} \right)\\ \begin{aligned} & f_{11}=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_{12}=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_{13}=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_{21}=3\cdot (-9)+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_{22}=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_{23}=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_{31}=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_{32}=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_{33}=-1\cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end{aligned} $$
Итак, $F=\left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)$. Пойдём далее. Матрица $C^T$ - транспонированная матрица для матрицы $C$, т.е. $ C^T=\left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right) $. Что же касаемо матрицы $E$, то это есть единичная матрица. В данном случае порядок этой матрицы равен трём, т.е. $E=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.
В принципе, мы и дальше можем идти пошагово, но оставшееся выражение лучше рассматривать целиком, не отвлекаясь на вспомогательные действия. По сути, нам остались лишь операции умножения матриц на число, а также операции сложения и вычитания.
$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)-3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right)+7\cdot \left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$
Умножим матрицы в правой части равенства на соответствующие числа (т.е. на 2, 3 и 7):
$$ 2\cdot \left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)-3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right)+7\cdot \left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {ccc} -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right) $$
Выполним последние действия: вычитание и сложение:
$$ \left(\begin{array} {ccc} -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {ccc} -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right)=\\ =\left(\begin{array} {ccc} -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27+0 & 14-24+7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right). $$
Задача решена, $D=\left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right)$.
Ответ : $D=\left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right)$.
Пример №6
Пусть $f(x)=2x^2+3x-9$ и матрица $ A=\left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right) $. Найти значение $f(A)$.
Если $f(x)=2x^2+3x-9$, то под $f(A)$ понимают матрицу:
$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$
Именно так определяется многочлен от матрицы. Итак, нам нужно подставить матрицу $A$ в выражение для $f(A)$ и получить результат. Так как все действия были подробно разобраны ранее, то тут я просто приведу решение. Если процесс выполнения операции $A^2=A\cdot A$ для вас неясен, то советую глянуть описание умножения матриц в первой части этой темы.
$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)=\\ =2 \left(\begin{array} {cc} (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)=\\ =2 \left(\begin{array} {cc} 14 & -3 \\ -15 & 5 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {cc} 28 & -6 \\ -30 & 10 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 15 & 0 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {cc} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right)=\left(\begin{array} {cc} 10 & -3 \\ -15 & 1 \end{array} \right). $$
Ответ : $f(A)=\left(\begin{array} {cc} 10 & -3 \\ -15 & 1 \end{array} \right)$.
Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.
Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .
Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .
См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса
Алгоритм нахождения обратной матрицыПример №1 . Запишем матрицу в виде:
| A -1 = |
|
Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .
В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.
Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.
Очередной канун Нового Года... морозная погода и снежинки на оконном стекле... Все это побудило меня вновь написать о... фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.
Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.
Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: "Фракталы - это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией".
Следует заметить, что данной операции поддаются только квадратные матрицы. Равное число строк и столбцов – обязательное условие для возведения матрицы в степень. В ходе вычисления матрица будет помножена сама на себя требуемое количество раз.
Данный онлайн калькулятор предназначен для выполнения операции возведения матрицы в степень. Благодаря его использованию вы не только быстро справитесь с данной задачей, но и получите наглядное и развёрнутое представление о самом ходе вычисления. Это поможет лучше закрепить материал, полученный в теории. Увидев перед собой детальный алгоритм расчётов, вы лучше поймёте все его тонкости и впоследствии сможете не допускать ошибок в ручном вычислении. Кроме того, никогда не будет лишним перепроверить свои расчёты, и это тоже лучше всего осуществлять здесь.
Для того, чтобы возвести матрицу в степень онлайн, понадобится ряд простых действий. Первым делом укажите размер матрицы, нажав на иконки «+» или «-» слева от неё. Затем в поле матрицы введите числа. Также нужно указать степень, в которую возводится матрица. А далее вам остаётся лишь кликнуть на кнопку: «Вычислить» в нижней части поля. Полученный результат будет достоверным и точным, если вы внимательно и правильно ввели все значения. Вместе с ним вам будет предоставлена детальная расшифровка решения.
Линейная алгебра для чайников
Чтобы изучить линейную алгебру, вы можете прочесть и вникнуть в книгу И. В. Белоусова "Матрицы и определители". Однако она написана строгим и сухим математическим языком, который людям со средним умом воспринимать тяжело. Поэтому я сделал пересказ наиболее трудных для понимания мест этой книги, стараясь изложить материал как можно понятнее, максимально используя для этого рисунки. Доказательства теорем я опустил. Признаться, я и сам не стал в них вникать. Верю г-ну Белоусову! Судя по его работе, он грамотный и толковый математик. Скачать его книгу можно по адресу http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Если собираетесь вникать в мою работу, это нужно сделать, потому что я буду на Белоусова часто ссылаться.
Начнём с определений. Что такое матрица? Это прямоугольная таблица чисел, функций или алгебраических выражений. Зачем нужны матрицы? Они сильно облегчают сложные математические расчёты. У матрицы можно выделить строки и столбцы (рис. 1).
Строки и столбцы нумеруются, начиная слева
сверху (рис. 1-1). Когда говорят: матрица размером m n (или m на n ), подразумевают под m количество строк , а под n количество столбцов . Например, матрица на рисунке 1-1 имеет размер "4 на 3", а не "3 на 4".
Смотрите на рис. 1-3, какие бывают матрицы. Если матрица состоит из одной строки, она называется матрицей–строкой, а если из одного столбца, то матрицей–столбцом. Матрица называется квадратной n–го порядка, если число строк у неё равно числу столбцов и равно n. Если все элементы матрицы равны нулю, то это нулевая матрица. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все её элементы, кроме расположенных на главной диагонали.
Сразу объясняю, что такое главная диагональ. На ней номера строк и столбцов одинаковые. Идёт она слева направо сверху вниз. (рис. 3) Элементы называются диагональными, если они расположены на главной диагонали. Если все диагональные элементы равны единице (а остальные нулю), матрица называется единичной. Две матрицы A и B одинакового размера называются равными, если все их элементы одинаковые.
2 Операции над матрицами и их свойстваПроизведением матрицы на число x является матрица того же размера. Чтобы получить это произведение, нужно каждый элемент умножить на это число (рис 4). Чтобы получить сумму двух матриц одинакового размера, нужно сложить их соответствующие элементы (рис. 4). Чтобы получить разность A - B двух матриц одинакового размера, нужно умножить матрицу B на -1 и сложить получившуюся матрицу с матрицей А (рис. 4). Для операций над матрицами справедливы свойства: А+В=В+А (свойство коммутативности).
(A + B)+C = A+(B + C) (свойство ассоциативности). По простому говоря, от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Для операций над матрицами и числами справедливы свойства:
(обозначим числа буквами x и y, а матрицы буквами A и B) x(yA)=(xy)A
Эти свойства аналогичны свойствам, действующим при операциях над числами. Смотрите
примеры на рисунке 5. Также смотрите примеры 2.4 - 2.6 у Белоусова на стр. 9 .
Умножение двух матриц определено лишь тогда (в переводе на русский: матрицы можно умножать лишь тогда), когда число столбцов первой матрицы в произведении равно числу строк второй (рис. 7 , наверху, синие скобки). Чтобы лучше запомнить: цифра 1 больше похожа на столбец. В результате умножения получается матрица размером (смотри рисунок 6). Чтобы было проще запомнить, что на что надо умножать, предлагаю следующий алгоритм: смотрим рисунок 7. Умножаем матрицу A на матрицу B. У
матрицы A два столбца,
у матрицы B две строки - умножать можно.
1) Займёмся первым столбиком матрицы B (он у неё один только и есть). Записываем этот столбик в строку (транспонируем
столбик, о транспонировании чуть ниже).
2) Копируем эту строку, чтобы у нас получилась матрица размером с матрицу A.
3) Умножаем элементы этой матрицы на соответствующие элементы матрицы A.
4) Складываем получившиеся произведения в каждой строчке и получаем матрицу-произведение из двух строк и одного столбца.
На рисунке 7-1 даны примеры умножения матриц, которые размером поболее.
1) Здесь у первой матрицы три столбца, значит у второй должно быть три строчки. Алгоритм ровно тот же, что в предыдушем примере, только тут в каждой строчке три слагаемых, а не два.
2) Здесь у второй матрицы два столбца. Сначала проделываем алгоритм с первым столбцом, затем со вторым, и получаем матрицу "два на два".
3) Тут у второй матрицы столбец состоит из одного элемента, от транспонирования столбец не изменится. И складывать ничего не надо, так как в первой матрице всего один столбец. Проделываем алгоритм три раза и получаем матрицу "три на три".
Имеют место следующие свойства:
1. Если сумма B + C и произведение AB существуют, то A (B + C) = AB + AC
2. Если произведение AB существует, то x (AB) = (xA) B = = A (xB).
3. Если произведения AB и BC существуют, то A (BC) = (AB) C .
Если произведение матриц AB существует, то произведение BA может не существовать. Если даже произведения AB и BA существуют, то они могут оказаться матрицами разных размеров.
Оба произведения AB и BA существуют и являются матрицами одинакового размера лишь в случае квадратных матриц A и B одного и того же порядка. Однако, даже в этом случае AB может не равняться BA.
Возведение в степеньВозведение матрицы в степень имеет смысл лишь для квадратных матриц (подумайте, почему?). Тогда целой положительной степенью m матрицы A является произведение m матриц, равных A. Так же, как и у чисел. Под нулевой степенью квадратной матрицы A понимается единичная матрица того же порядка что и A. Если позабыли, что такое единичная матрица, гляньте на рис. 3.
Так же, как и у чисел, имеют место следующие соотношения:
A mA k=A m+k (A m)k=A mk
Смотрите примеры у Белоусова на стр. 20.
Транспонирование матрицТранспонирование -это преобразование матрицы A в матрицу AT ,
при котором строки матрицы A записываются в столбцы AT с сохранением порядка. (рис. 8). Можно сказать по другому:
столбцы матрицы A записываются в строки матрицы AT с сохранением порядка. Обратите внимание, как при транспонировании меняется размер матрицы, то есть количество строк и столбцов. Также обратите внимание, что элементы на первой строке, первом столбце, и последней строке, последнем столбце остаются на месте.
Имеют место следующие свойства: (AT )T =A (транспонируй
матрицу два раза - получишь такую же матрицу)
(xA)T =xAT (под x имеется в виду число, под A, разумеется, матрица) (если надо матрицу умножить на число и транспонировать, можешь сначала умножить, затем транспонировать, а можешь наоборот)
(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT
Симметричные и антисимметричные матрицыНа рисунке 9 вверху слева изображена симметричная матрица. Её элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны. А теперь определение: Квадратная матрица
A называется симметричной, если AT =A . То есть симметричная матрица при транспонировании не меняется. В частности, симметричной является любая диагональная матрица. (Такая матрица изображена на рис. 2).
Теперь посмотрите на антисимметричную матрицу (рис. 9, внизу). Чем она отличается от симметричной? Обратите внимание, что все её диагональные элементы равны нулю. У антисимметричных матриц все диагональные элементы равны нулю. Подумайте, почему? Определение: Квадратная матрица A называется
антисимметричной, если AT = -A . Отметим некоторые свойства операций над симметричными и антисимметричными
матрицами. 1. Если A и B - симметричные (антисимметричные) матрицы, то и A + B - симметричная (антисимметричная) матрица.
2.Если A - симметричная (антисимметричная) матрица, то xA также является симметричной (антисимметричной) матрицей. (в самом деле, если умножить матрицы из рисунка 9 на какое - нибудь число, симметрия то всё равно сохранится)
3. Произведение AB двух симметричных или двух антисимметричных матриц A и B есть матрица симметричная при AB = BA и антисимметричная при AB = -BA.
4. Если A - симметричная матрица, то и A m (m = 1, 2, 3, . . .) - симметричная матрица. Если A
Антисимметричная матрица, то Am (m = 1, 2, 3, . . .) яв ляется симметричной матрицей при четном m и антисимметричной - при нечетном.
5. Произвольную квадратную матрицу A можно представить в виде суммы двух матриц. (назовём эти матрицы, например A(s) и A(a) )
A=A (s)+A (a)
Как писать анонимно в Аск фм?
Лазерная указка расстояние
Обзор и тестирование беспроводного маршрутизатора ASUS RT-AC66U Описание asus rt ac66u